Question

（2010•通州區一模）設不等式組

-2≤x≤2 0≤y≤2

確定的平面區域為U，

x-y+2≥0 x+y-2≤0 y≥0

確定的平面區域為V．
（I）定義坐標為整數的點為“整點”．在區域U內任取3個整點，求這些整點中恰有2個整點在區域V的概率；
（II）在區域U內任取3個點，記此3個點在區域V的個數為X，求X的概率分布列及其數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，畫出區域U與V，可得其中整點的個數，進而由古典概型公式，計算可得答案；
（Ⅱ）根據題意，易得區域U的面積為8，區域V的面積為4，進而可得在區域U內任取一點，該點在區域V內的概率，依題意可得X的取值為0，1，2，3；由n次獨立重復試驗中恰有k次發生的概率公式，可得X為0，1，2，3的概率，可得X的分布列，進而由期望公式，計算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意，區域U內共有15個整點，區域V內共有9個整點，
設所取3個整點中恰有2個整點在區域V的概率為P（v），
則P（v）=

C 2 9 C 1 6

C 3 15

=

216

455

．          
（Ⅱ）區域U的面積為8，區域V的面積為4，
∴在區域U內任取一點，該點在區域V內的概率為

4

8

=

1

2

．                         
則X的取值為0，1，2，3，
P（X=0）=C₃⁰（

1

2

）⁰（

1

2

）³=

1

8

，
P（X=1）=C₃¹（

1

2

）¹（

1

2

）²=

3

8

，
P（X=0）=C₃²（

1

2

）²（

1

2

）¹=

3

8

，
P（X=3）=C₃³（

1

2

）³（

1

2

）⁰=

1

8

，
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P（X）	1 8	3 8	3 8	1 8

E（X）=0×

1

8

+1×

3

8

+2×

3

8

+3×

1

8

=

3

2

點評：本題考查排列組合的運用、離散型變量的期望與方差的計算，解題時注意（Ⅰ）涉及整點，是古典概型；（Ⅱ）利用面積，是幾何概型．