Question

如圖：已知平面α∥平面β，點A、B在平面α內，點C、D在β內，直線AB與CD是異面直線，點E、F、G、H分別是線段AC、BC、BD、AD的中點，求證：
（Ⅰ）E、F、G、H四點共面；
（Ⅱ）平面EFGH∥平面β．

Answer 1

證：（Ⅰ）∵點E、F是線段AC、BC的中點，
∴EF∥AB，
又∵G、H是線段BD、AD的中點，∴GH∥AB，
∴EF∥GH，因此：E、F、G、H四點共面；
（Ⅱ）∵平面α∥平面β，點A、B在平面α內，∴AB∥平面α
設平面ABC與平面β的交線為CP，
∵直線AB與CD是異面直線，
∴CP與CD是交線，
∵AB∥平面α，∴AB∥CP，又EF∥AB，
∴EF∥CP，∴EF∥平面β，
∵點E、H是線段AC、AD的中點，
∴EH∥CD，∴EH∥平面β，
因此：平面EFGH∥平面β．
分析：（Ⅰ）根據中位線定理可知EF∥AB，GH∥AB，從而EF∥GH，根據公理可知兩平行線確定一平面，則E、F、G、H四點共面；
（Ⅱ）根據平面α∥平面β，點A、B在平面α內，則AB∥平面α，設平面ABC與平面β的交線為CP，根據AB∥平面α，則AB∥CP，又EF∥AB，則EF∥CP，根據線面平行的判定定理可知EF∥平面β，根據中位線定理可知EH∥CD，從而EH∥平面β，最后根據面面平行的判定定理可平面EFGH∥平面β．
點評：本題考查證明兩個平面平行的方法：在一個平面內找到兩條條相交的直線和另一個平面平行，屬于基礎題．