Question

（1）自圓O外一點P引切線與圓切于點A，M為PA中點，過M引割線交圓于B，C兩點．求證：∠MCP=∠MPB．
（2）在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形ABCD的四個頂點A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），經矩陣M=

1 0 k 1

表示的變換作用后，四邊形ABCD變為四邊形A₁B₁C₁D₁，問：四邊形ABCD與四邊形A₁B₁C₁D₁的面積是否相等？試證明你的結論．
（3）已知A是曲線ρ=12sinθ上的動點，B是曲線ρ=12cos(θ-

π

6

)上的動點，試求AB的最大值．
（4）設p是△ABC內的一點，x，y，z是p到三邊a，b，c的距離，R是△ABC外接圓的半徑，證明

x

+

y

+

z

≤

1

2R

a2+b2+c2

．

Answer 1

分析：（1）根據切割線定理，得到AM是MB和MC的比例中項，結合AM=MP，∠BMP=∠PMC，得△BMP∽△PMC，從而得到對應角相等，命題得證；
（2）四個頂點A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），經矩陣M=

1 0 k 1

表示的變換作用后，四邊形ABCD變為四邊形A₁B₁C₁D₁仍為梯形，且上、下底及高都不變，故面積相等；
（3）把極坐標方程化為直角坐標方程，可得兩曲線分別表示一個圓，求出兩圓的圓心距，可得兩圓相交，故線段AB長的最大值等于圓心距加上兩個圓的半徑；
（4）題中連接P與三角形的三個頂點，分成的三個小三角形面積的和等于大三角形，可得ax+by+cz=2S=

abc

2R

，再利用柯西不等式即可得證．

解答：（1）證明：∵AM切圓于點A，∴AM²=MB•MC
又∵M為PA中點，AM=MP，∴MP²=MB•MC，∴

PM

BM

=

CM

PM

∵∠BMP=∠PMC，∴△BMP∽△PMC，∴∠MCP=∠MPB．
（2）四個頂點A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），經矩陣M=

1 0 k 1

表示的變換作用后，四邊形ABCD變為四邊形A₁B₁C₁D₁頂點坐標為A₁（0，1），B₁（2，2k+1），C₁（2，2k+3），D₁（0，2），四邊形A₁B₁C₁D₁仍為梯形，且上、下底及高都不變，故面積相等；
（3）曲線ρ=12sinθ化為直角坐標方程為 x²+（y-6）²=36，表示以（0，6）為圓心，以6為半徑的圓．
曲線ρ=12cos(θ-

π

6

)化為直角坐標方程為 x²+y²=6

3

x+6y，即 （x-3

3

）²+（y-3）²=36，
表示以（3

3

，3 ）為圓心，以6為半徑的圓．
兩圓的圓心距的平方為 （0-3

3

）²+（6-3）² =36，故兩圓相交，線段AB長的最大值為6+r+r′=18．
（4）連接P與三角形的三個頂點，分成的三個小三角形面積的和等于大三角形，即

1

2

（ax+by+cz）=S，∴ax+by+cz=2S=

abc

2R

∴

x

+

y

+

z

=

ax

×

1 a

+

by

×

1 b

+

cz

×

1 c

≤

( ax )2+( by )2+( cz )2

×[(

1 a

)2+(

1 b

)2+(

1 c

)2]
=

ax+by+cz

×（

1

a

+

1

b

+

1

c

）=

abc

2R

×

ab+bc+ac

abc

=

ab+bc+ac

2R

≤

1

2R

a2+b2+c2

即

x

+

y

+

z

≤

1

2R

a2+b2+c2

點評：本題考查了圓當中的比例線段，以及三角形相似的有關知識點，考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，以及兩圓的位置關系，求出兩圓的圓心距，考查矩陣與變換，考查不等式的證明，綜合性強