Question

．如圖，已知A（-2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD滿足|AB|=-2|CD|，E為AC上一點(diǎn)，且。又以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線過C、D、E三點(diǎn)。若，則雙曲線離心率e的取值范圍為（   ）

A．   B．  C．   D．

Answer 1

A

分析：如圖，在直角坐標(biāo)系中，記雙曲線的半焦距為c（c=2），h是梯形的高，用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得E點(diǎn)坐標(biāo)x₀和y₀的表達(dá)式．設(shè)雙曲線方程，將點(diǎn)C、E坐標(biāo)和e分別代入雙曲線方程聯(lián)立后求得e和h的關(guān)系式，根據(jù)λ的范圍求得e的范圍．

解：如圖，以AB的垂直平分線為γ軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOγ，則CD⊥γ軸．
因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于γ軸對(duì)稱，
設(shè)c為雙曲線的半焦距（c=2），
依題意，記 A(-c，0)，C(，h)，E(x₀，y₀)，
h是梯形的高，
由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得 x₀==，γ₀=．
設(shè)雙曲線的方程為 -=1，則離心率 e=，
由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E坐標(biāo)和 e=代入雙曲線的方程，得 -=1，①
()²-()²=1．②
由①式得=-1，③
將③式代入②式，整理得(4-4λ)=1+2λ，
故 λ=1-
由題設(shè) ≤λ≤得，≤1-≤，
解得 ≤e≤，
所以，雙曲線的離心率的取值范圍為[，]．
故選A．