Question

（本小題滿分14分）已知函數．
（Ⅰ）若函數f(x)在其定義域內為單調函數，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數f(x)的圖象在x = 1處的切線的斜率為0，且，已
知a₁ = 4，求證：a_n³ 2n + 2；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試比較與的大小，并說明你的理由．

Answer 1

(1)，．
要使函數f(x)在定義域內為單調函數，則在內恒大于0或恒小于0，
當在內恒成立；
當要使恒成立，則，解得，
當恒成立，
所以的取值范圍為．                      ------------------4分
（2）根據題意得：，
于是，
用數學歸納法證明如下：
當，不等式成立；
假設當時，不等式成立，即也成立，
當時，，
所以當，不等式也成立，
綜上得對所有時，都有．      ----------------9分
(3) 由(2)得，
于是，所以，
累乘得：，所以． --14分

略