Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，E，F為PD的兩個三等分點．
（Ⅰ）求證BE∥平面ACF；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面PCD，求證：PC⊥CD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連結BD，AC相交于O，證明BE∥OF，即可證明BE∥平面ACF；
（Ⅱ）過A作AH⊥PC于H，利用面面垂直的性質證明AH⊥平面PCD，從而證明AH⊥CD，然后利用線面垂直的性質證明PC⊥CD．

解答：解：（Ⅰ）連接BD、AC，兩線交于O，
∴O是BD的中點（平行四邊形對角線互相平分），
∵F是DE的中點（由三等分點得到），
∴OF是△DEB的中位線，
∴BE∥OF，
∵OF?面ACF，BE?面ACF，
∴BE平行平面ACF．
（Ⅱ）過A作AH⊥PC于H，
∵平面PAC⊥平面PCD，
∴AH⊥平面PCD，
∵CD?平面PCD，
∴AH⊥CD，
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．
又∵PA∩AH=A，
∴CD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
∴PC⊥CD．

點評：本題主要考查空間直線和平面平行的判定，以及面面垂直的性質應用，綜合性較強．