Question

設等比數列的首項為，公比為（為正整數），且滿足是與的等差中項；數列滿足（）.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）試確定的值，使得數列為等差數列；
（Ⅲ）當為等差數列時，對每個正整數，在與之間插入個2，得到一個新數列. 設是數列 的前項和，試求滿足的所有正整數.

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）時，數列為等差數列;（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）根據題意是與的等差中項,由等差中項不難得出三者的關系,又由為等比數列,回歸基本量即可求出公比的值,就可求出的通項公式; （Ⅱ）由數列滿足,可化簡求得的表達式,即,由（Ⅱ）中所給條件為等差數列,可想到它的前三項一定符合等差數列的要求,即滿足,可求出的值,這樣得到的表達式,通過等差數列的定義對所求表達式進行驗證,得出是一個等差數列;（Ⅲ）由題目在與之間插入個2,即和之間插入2k個2,這樣不難發現這個數列的前三項均為2,這顯然成立,推到一般情形去證明當時,等式左邊,右邊,化簡得,可根據特點可令函數,可對其求導進行分析函數的單調性情況,發現最小值成立,從而就可得出符合題意的值.
試題解析：解：（Ⅰ）因為,所以，
解得（舍），則        3分
又，所以           5分
（Ⅱ）由，得，
所以,
則由，得          8分
而當時，，由（常數）知此時數列為等差數列    10分
（Ⅲ）因為，易知不合題意，適合題意    11分
當時，若后添入的數2，則一定不適合題意，從而必是數列中的
某一項，則，
所以，即      13分
記，則，
因為，
所以當時，，又，
從而，故在[3，遞增.
則由知=0在[3，無解，
即都不合題意  15分
綜上知，滿足題意的正整數僅有m=2           16分