Question

某社區為豐富居民的業余文化生活，準備召并一次趣味運動會．在“射擊氣球”這項比賽活動中，制定的比賽規則如下規則：每人只參加一場比賽，每場比賽每人都依次射擊完編號為①、②、③、④、⑤的5個氣球，每次射擊一個氣球；若這5次射擊中，④、⑤號氣球都被擊中，且①、②、③號氣球至少有1個被擊中，則此人獲獎；否則不獲獎．已知甲每次射擊擊中氣球的概率都為，且各次擊結果互不影響．
（I）求甲在比賽中獲獎的概率；
（II）求甲至少擊中了其中3個氣球但沒有獲獎的概率．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出事件“①、②、③號氣球全都沒有擊中”的概率等于=，可得甲在比賽中獲獎的概率等于×（1-），運算求得結果．
（II）若④、⑤號氣球只有一個沒有被擊中，求得所求的事件的概率；若④、⑤號氣球兩個都沒有被擊中，求得所求的事件的概率；再把這兩個概率的值相加，即得所求．
解答：解：（I）事件“①、②、③號氣球至少有1個被擊中”的對立事件是：“①、②、③號氣球全都沒有擊中”，
由題意可得，事件“①、②、③號氣球全都沒有擊中”的概率等于=，
故甲在比賽中獲獎的概率等于 ×（1-）=．
（II）甲至少擊中了其中3個氣球但沒有獲獎，說明 ④、⑤號氣球至少有一個沒有被擊中．
若④、⑤號氣球只有一個沒有被擊中，則所求的事件的概率等于
（  ）×（ ××+）=．
若④、⑤號氣球兩個都沒有被擊中，則所求的事件的概率等于 ×=．
綜上可得，甲至少擊中了其中3個氣球但沒有獲獎的概率等于 +=．
點評：本題主要考查n次獨立重復實驗中恰好發生k次的概率，等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用1減去它的對立事件概率，體現了分類討論的數學思想，是一個中檔題目．