Question

（本小題滿分12分）
已知函數（，實數，為常數）．
（Ⅰ）若，求在處的切線方程；
（Ⅱ）若，討論函數的單調性．

Answer 1

（Ⅰ）;
（Ⅱ）當時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；當時，函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；當時，函數的單調遞增區間為；當時，函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為．

（1）把，代入，可求出，當，由點斜式方程寫出曲線的切線方程，再化為一般式；（2）把代入得， ，注意定義域，令，得，．需討論與0和1的大小得或的的范圍，就是原函數的增區間或減區間.
（Ⅰ）因為，所以函數，
又，………………………………………………2分
所以
即在處的切線方程為…………………………………5分
（Ⅱ）因為，所以，則
  
令，得，．……………………………………………7分
（1）當，即時，函數的單調遞減區間為，
單調遞增區間為；…………………………………………8分
（2）當，即時，，的變化情況如下表：
        所以，函數的單調遞增區間為，，
單調遞減區間為；…………………………9分
（3）當，即時，函數的單調遞增區間為；………10分
（4）當，即時，，的變化情況如下表：
    
所以函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；……………………………………11分
綜上，當時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；當時，函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；當時，函數的單調遞增區間為；當時，函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為．…………………………12分