Question

已知矩陣A=

1 a 2 3

的一個特征值是-1，求矩陣A的另一個特征值λ，及屬于λ的一個特征向量．

Answer 1

分析：根據特征多項式的一個零點為-1，可得a=4，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一個特征值為λ=5．最后利用求特征向量的一般步驟，可求出其對應的一個特征向量．

解答：解：矩陣A=

1 a 2 3

的特征多項式是f（λ）=（λ-1）（λ-3）-2a，
由f（-1）=0得a=4，
令f（λ）=0，則λ=-1或λ=5，
解方程組{，

(5-1)x-4y=0 -2x+(5-3)y=0

可得一組不為零的解是{，

x=1 y=1

，
所以矩陣A的另一個特征值是5，屬于5的一個特征向量是e=

1 1

．

點評：本題給出含有字母參數的矩陣，在知其一個特征值的情況下求另一個特征值和相應的特征向量，考查了特征值與特征向量的計算的知識，屬于基礎題．