Question

在平面直角坐標系xOy中，點P到兩點(0，-

3

)，(0，

3

)的距離之和等于4，設點P的軌跡為C．
（1）寫出C的方程；
（2）設直線y=kx+1與C交于A、B兩點，k為何值時

OA

⊥

OB

？

Answer 1

分析：（1）由題意可知P點的軌跡為橢圓，并且得到c=

3

，a=2，求出b后可得橢圓的標準方程；
（2）把直線方程和橢圓方程聯立，化為關于x的一元二次方程后得到判別式大于0，然后利用根與系數關系得到直線和橢圓兩個交點的橫坐標的和與積，寫出兩個向量垂直的坐標表示，最后代入根與系數的關系后可求得k的值．

解答：解：（1）由條件知：P點的軌跡為焦點在y軸上的橢圓，
其中c=

3

，a=2，所以b²=a²-c²=4-(

3

)2=1．
故軌跡C的方程為：

y2

4

+x2=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+1 y2 4 +x2=1

⇒（kx+1）²+4x²=4，即（k²+4）x²+2kx-3=0
由△=16k²+48＞0，可得：

x1+x2=- 2k k2+4 x1x2=- 3 k2+4

，
再由

OA

⊥

OB

?

OA

•

OB

=0?x1x2+y1y2=0，
即（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
所以

-3(k2+1)

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=0，k2=

1

4

⇒k=±

1

2

．

點評：本題考查了圓錐曲線的軌跡問題，考查了直線和圓錐曲線的關系，直線和圓錐曲線的關系問題，常采用根與系數的關系來解決，此題屬中檔題．