Question

在△ABC中，已知sin(

π

2

+A)=

2 5

5

．
（1）求tan2A的值；   （2）若cosB=

3 10

10

，c=10，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據誘導公式化簡已知條件，得到cosA的值，根據cosA的值大于0且A為三角形的內角，得到A為銳角，所以利用同角三角函數間的基本關系求出sinA的值，進而求出tanA的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函數公式化為關于tanA的式子，把tanA的值代入即可求出值；
（2）由cosB的值和B的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出sinB的值，根據三角形的內角和定理及誘導公式得到sinC與sin（A+B）相等，利用兩角和的正弦函數公式化簡sin（A+B），把各自的值代入求出sin（A+B）的值，即為sinC的值，再由c，sinA及sinC的值，利用正弦定理求出a的值，然后由a，c及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）由已知得：sin（

π

2

+A）=cosA=

2 5

5

，
因為角A是△ABC內角，且cosA＞0，則角A是銳角．
所以sinA=

1-cos2

A=

5

5

，tanA=

1

2

．（4分）
故tan2A=

2tanA

1-tan2A

=

4

3

．（6分）
（2）因為cosB=

3 10

10

，B為三角形的內角，所以sinB=

10

10

．（7分）
于是sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

1

5

3

10

+

2

5

1

10

=

2

2

．（9分）
因為c=10，由正弦定理，得a=

c•sinA

sinC

=2

10

．（11分）
故S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×2

10

×10×

10

10

=10．（12分）

點評：此題綜合考查了三角函數的恒等變形，三角形的面積公式，及正弦定理．熟練掌握同角三角函數間的基本關系，二倍角的正切函數公式及兩角和的正弦函數公式是解本題的關鍵．