Question

長(zhǎng)方形中，，．以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．

(1) 求以、為焦點(diǎn)，且過(guò)、兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2) 過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交(1)中橢圓于兩點(diǎn)，是否存在直線(xiàn)，使得以線(xiàn)段為直徑的圓恰好過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

(1)；(2) 存在過(guò)的直線(xiàn):，理由見(jiàn)解析．

解析試題分析：（1）由題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意知，求得，進(jìn)而根據(jù)和的關(guān)系求得，則橢圓的方程可得；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為．與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為．根據(jù)韋達(dá)定理求得和，進(jìn)而根據(jù)若以為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)，推斷則，得知，根據(jù)求得代入即可求得，最后檢驗(yàn)看是否符合題意．
(1)由題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
，．
.
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
(2) 由題意直線(xiàn)的斜率存在,可設(shè)直線(xiàn)的方程為.
聯(lián)立方程,消去整理得．
設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
∴．
若以為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn),則,所以，
所以,，即．
所以，即
得滿(mǎn)足，
所以直線(xiàn)的方程為,或.
故存在過(guò)的直線(xiàn):使得以弦為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)．
考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線(xiàn)的一般式方程；3、直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)；4、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．