Question

如圖所示，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕，其中AE=4米，CD=6米．為了合理利用這塊鋼板，將在五邊形ABCDE內截取一個矩形塊BNPM，使點P在邊DE上．
（Ⅰ）設MP=x米，PN=y米，將y表示成x的函數，求該函數的解析式及定義域；
（Ⅱ）求矩形BNPM面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用三角形的相似，可得函數的解析式及定義域；
（Ⅱ）表示出面積，利用配方法，可得矩形BNPM面積的最大值．

解答：解：（I）作PQ⊥AF于Q，所以PQ=8-y，EQ=x-4…（2分）
在△EDF中，

EQ

PQ

=

EF

FD

，所以

x-4

8-y

=

4

2

…（4分）
所以y=-

1

2

x+10，定義域為{x|4≤x≤8}…（6分）
（II）設矩形BNPM的面積為S，則S(x)=xy=x(10-

x

2

)=-

1

2

(x-10)2+50…（9分）
所以S（x）是關于x的二次函數，且其開口向下，對稱軸為x=10
所以當x∈[4，8]，S（x）單調遞增                               …（11分）
所以當x=8米時，矩形BNPM面積取得最大值48平方米         …（13分）

點評：本題考查函數解析式的確定，考查配方法求函數的最值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．