Question

已知公差大于零的等差數列a_n的前n項和為S_n，且滿足a₁a₆=21，S₆=66．
（Ⅰ）求數列a_n的通項a_n；
（Ⅱ）若數列b_n使b_n=xan+3，求數列b_n前n項之和T_n；
（Ⅲ）若數列c_n是等差數列，且cn=

Sn

n+p

，求非零常數p．

Answer 1

分析：（1）：利用待定系數法：即設出首項和公差，列出方程即可解出首項和公差，從而得通項公式．
（2）：將數列a_n的通項代入b_n，即可求出b_n通項．再利用等比數列n項和公式得解．
（3）：將等差數列a_n的前n項和為S_n，代入數列cn=

Sn

n+p

中，從而得c_n通項，又有等差中項性質可得解．

解答：解：（Ⅰ）由題

a1+a6=22 a1a6=21

∵d＞0?

a1=1 a6=21

又d=

21-1

6-1

=4∴a_n=4n-3
（Ⅱ）由b_n=x⁴ⁿ得{b_n}是以x⁴為首項，x⁴為公比的等比數列
當x=±1時，T_n=n當x≠±1時，T_n=

x4(1-x4n)

1-x4

（Ⅲ）又S_n=n+

n(n-1)

2

×4=2n²-n∴cn=

2n2-n

n+p

∵c_n是等差數列∴2•

6

2+p

=

1

1+p

+

15

3+p

∴p=0或p=-

1

2

點評：本題是等差數列和等比數列的綜合題：
（1）可利用求解數列題的一般方法：待定系數法求解．
（2）求等比數列前n項和時，注意公比的討論．
（3）等差數列中等差中項的性質及應用是高考中的熱點．要引起足夠重視．