Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,AD＝１,AA₁＝AB＝２．點E是線段AB上的動點,點M為D₁C的中點．

(1)當E點是AB中點時,求證：直線ME‖平面ADD₁ A₁；

(2)若二面角AD₁ＥＣ的余弦值為．求線段AE的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）證明：取的中點N，連結MN、AN、，由三角形中位線定理得到

MN∥，AE∥，所以四邊形MNAE為平行四邊形，可知 ME∥AN，即得證.

（2）利用空間向量.

設，建立空間直角坐標系，將問題轉化成計算平面的“法向量”夾角的余弦，建立的方程.

試題解析：（（1）證明：取的中點N，連結MN、AN、，           1分

MN∥，AE∥，                         3分

四邊形MNAE為平行四邊形，可知 ME∥AN          4分

∥平面.                                   6分

（2）設，如圖建立空間直角坐標系         7分

，

平面的法向量為，由 及得                  9分

平面的法向量為，由 及得                    11分

，即，解得

所以                                                  12分

考點：直線與平面平行的判定，二面角，距離的計算，空間向量的應用.