Question

已知圓A：x²＋y²－2x－2y－2＝0.
(1)若直線l：ax＋by－4＝0平分圓A的周長，求原點O到直線l的距離的最大值；
(2)若圓B平分圓A的周長，圓心B在直線y＝2x上，求符合條件且半徑最小的圓B的方程．

Answer 1

（1）     （2）(x－)²＋(y－)²＝

(1)圓A的方程即(x－1)²＋(y－1)²＝4，其圓心為A(1,1)，半徑為r＝2.
由題意知直線l經過圓心A(1,1)，所以a＋b－4＝0，得b＝4－a.
原點O到直線l的距離d＝.
因為a²＋b²＝a²＋(4－a)²＝2(a－2)²＋8，所以當a＝2時，a²＋b²取得最小值8.
故d的最大值為＝.

(2)由題意知圓B與圓A的相交弦為圓A的一條直徑，它經過圓心A.
設圓B的圓心為B(a,2a)，半徑為R.如圖所示，在圓B中，
由垂徑定理并結合圖形可得：R²＝2²＋|AB|²＝4＋(a－1)²＋(2a－1)²＝5(a－)²＋.
所以當a＝時，R²取得最小值.
故符合條件且半徑最小的圓B的方程為(x－)²＋(y－)²＝.