Question

如圖，橢圓C：的頂點為A₁，A₂，B₁，B₂，焦點為F₁，F₂，|A₁B₁|=，
S₌2S
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設n是過原點的直線，l是與n垂直相交于P點、與橢圓相交于A，B兩點的直線，且，是否存在上述直線l使=1成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由知   
           a²+b²=7，                                      ①
由 S=2S知
            a=2c，                                          ②
又      b²=a²﹣c²                                        ③
由 ①②③解得a²=4，b²=3，故橢圓C的方程為．
（Ⅱ）設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）
若l垂直于x軸時，p點即是右焦點（1，0），此時不滿足，直線l的方程不存在．
若l不垂直于x軸時，設l的方程為y=kx+m，由l與n垂直相交于P點且
得，即m²=k²+1                       ④
∵，，得知
OA⊥OB
所以x₁x₂+y₁y₂=0，
由得
（3+4k²）x²+8kmx+4m²﹣12=0，
，，
又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=，
代入x₁x₂+y₁y₂=0中得
7m²﹣12k²﹣12=0．                      ⑤
由④⑤可知無解．所以此時l不存在．成立．