Question

函數f(x)=sin2x--.

(1)若x∈[,],求函數f(x)的最值及對應的x的值.

(2)若不等式[f(x)-m]2<1在x∈[,]上恒成立,求實數m的取值范圍.

 

Answer 1

(1) 當2x-=,即x=時,f(x)max=0,

當2x-=,即x=時,f(x)min=-.

(2) (-1,)

【解析】【思路點撥】(1)先利用所學公式把f(x)變換成f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式.利用所給x的范圍,求得最值及對應x的值.(2)利用不等式變換轉化成不等式恒成立問題求解.

解:(1)f(x)=sin 2x--

=sin 2x-cos 2x-1=sin(2x-)-1,

∵x∈[,],∴≤2x-≤,

當2x-=,即x=時,f(x)max=0,

當2x-=,即x=時,f(x)min=-.

(2)方法一:∵[f(x)-m]2<1(x∈[,])?

f(x)-1<m<f(x)+1(x∈[,]),

∴m>f(x)max-1且m<f(x)min+1,

故m的取值范圍為(-1,).

方法二:∵[f(x)-m]2<1?m-1<f(x)<m+1,

∴m-1<-且m+1>0,故-1<m<,

故m的取值范圍是(-1,).