Question

已知函數f(x)=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，n∈N^*且a₁、a₂、a₃、……、a_n構成一個數列{a_n}，滿足f(1)=n².
（1）求數列{a_n}的通項公式，并求；
（2）證明0＜f()＜1.

Answer 1

（1）（2）證明略

(1)解: {a_n}的前n項和S_n=a₁+a₂+…+a_n=f(1)=n²,
由a_n=S_n–S_n–1=n²–(n–1)²=2n–1(n≥2),又a₁=S₁=1滿足a_n=2n–1.
故{a_n}通項公式為a_n=2n–1(n∈N^*)
∴
(2)證明: ∵f()=1·+3·+…+(2n–1)        ①
∴f()=1·+3·+…+(2n–3)+(2n–1)  ②
①–②得:f()=1·+2·+2·+…+2·–(2n–1)·
∴f()=++++…+–(2n–1)=1– 
∵ (n∈N^*)
∴0<<1,∴0<1–<1，即0<f()<1