Question

已知圓C：x²+y²=5，及點A（1，-2），Q（0，4）．
（1）求過點A的圓的切線方程；
（2）如果P是圓C上一個動點，求線段PQ的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設切線的斜率為k，寫出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出k，然后可得切線方程；
（2）設PQ中點M（x，y），則P（2x，2y-4），代入圓的方程即得線段PQ中點的軌跡方程．

解答：解：（1）設切線斜率為k，則切線方程為kx-y-k-2=0，所以

|2+k|

k2+1

=

5

，解得k=

1

2

，
所以切線方程為x-2y-5=0；
（2）：設PQ中點M（x，y），則P（2x，2y-4），代入圓C：x²+y²=5，得4x²+（2y-4）²=5．
線段PQ的中點M的軌跡方程：x²+（y-2）²=

5

4

．

點評：本題考查圓的切線方程，求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、相關點代入法、參數法，本題主要是利用直接法和相關點代入法，直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．相關點代入法  根據相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點的軌跡方程．