Question

對于數列{a_n}，若存在確定的自然數T＞0，使得對任意的自然數n∈N^*，都有：a_n+T=a_n成立，則稱數列{a_n}是以T為周期的周期數列．
（1）記S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，若{a_n}滿足a_n+2=a_n+1-a_n，且S₂=1007，S₃=2010，求證：數列{a_n}是以6為周期的周期數列，并求S₂₀₀₉；
（2）若{a_n}滿足，且a_n+1=-2a_n²+2a_n，試判斷{a_n}是否為周期數列，且說明理由；
（3）由（1）得數列{a_n}，又設數列{b_n}，其中，問是否存在最小的自然數n（n∈N^*），使得對一切自然數m≥n，都有b_m＞2009？請說明理由．

Answer 1

解：（1）a_n+6=a_n+5-a_n-4=a_n+4-a_n+3-a_n-4
=-a_n+3=-a_n+2+a_n+1=-（a_n+1-a_n）+a_n+1=a_n，
得T=6
所以，數列{a_n}是以6為周期的周期數列，
周期為任意正整數
又由 ，
得a₁=2，a₂=1005，a₃=1003，a₄=-2，a₅=-1005，a₆=-1003S₆=0，
且數列{a_n}是以6為周期的周期數列，
所以，S_6n=0，
所以 S₂₀₀₉=S₅=a₃=1003
（2）當p=0時，a₁=a₂=0，a_n+1=-2a_n²+2a_n=0，
即{a_n}是周期數列
當p≠0，時，

由已知，
且a_n+1=-2a_n²+2a_n，
可得，
依此類推可得（n∈N^*）
所以 a_n+1-a_n=-2a_n²+a_n=a_n（1-2a_n）＞0，所以a_n+1＞a_n
即數列{a_n}是遞增數列，非周期數列；
（3）由（1）知，S₂=a₁+a₂=a₁+1005=1007，
所以a₁=2，a₂=1005，a₃=1003，a₄=-2，a₅=-1005，a₆=-1003，
且數列{a_n}是周期為6的周期數列，
所以（a_n）_max=1005（n∈N^*），（a_n）_min=-1005，
且 a_6n+1=2，a_6n+2=1003，a_6n+3=1005，a_6n+4=-2，
a_6n+5=-1005，a_6n+6=-1003，
而當n≥12時，，
，
即2n≥2009+1005=3014，
得n≥1507，即 n≥1507時，
都有b_n＞2009；
又
綜上，存在最小的自然數n=1506，
對一切自然數m，當m≥n=1506，
都有b_m＞2009．
分析：（1）a_n+6=a_n+5-a_n-4=a_n+4-a_n+3-a_n-4=-a_n+3=-a_n+2+a_n+1=-（a_n+1-a_n）+a_n+1=a_n，得T=6，由此能求出 S₂₀₀₉=S₅=a₃=1003．
（2）當p=0時，a₁=a₂=0，a_n+1=-2a_n²+2a_n=0，即{a_n}是周期數列，由此能推導出數列{a_n}是遞增數列，非周期數列．
（3）由S₂=a₁+a₂=a₁+1005=1007，知a₁=2，a₂=1005，a₃=1003，a₄=-2，a₅=-1005，a₆=-1003，且數列{a_n}是周期為6的周期數列，由此能推導出存在最小的自然數n=1506，對一切自然數m，當m≥n=1506，都有b_m＞2009．
點評：本題考查數列和不等式的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱條件，合理地進行等價轉化．