Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，E是棱PC的中點．
（Ⅰ）設點G在棱AB上，當點G在何處時，可使直線GE⊥平面PCD，并證明你的結論；
（Ⅱ）求直線AC與平面ADE所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先說明G為AB的中點；取AB和PD中點G、H，則GE∥AH，由題意先證明CD⊥平面PAD，再證AH⊥平面PCD，證出GE⊥平面PCD．
（Ⅱ）利用圖形中的垂直條件建立坐標系，求出平面ADE的法向量，再用數量積求向量所成角的余弦值，即為所求角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）當G為AB中點時，GE⊥平面PCD，證明如下：
取PD的中點H，連EH，AH，GE．∵EH∥CD，EH=

1

2

CD，AG∥CD，AG=

1

2

CD，
∴AG∥CD，AG=CD，∴四邊形AGEH為平行四邊形．
∴GE∥AH∵在△PAD中，PA=AD，∴AH⊥PD，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD
∵AH?平面PAD，∴CD⊥AH，且PD∩CD=D，
∴AH⊥平面PCD，又∵GE∥AH，∴GE⊥平面PCD
（Ⅱ）如圖，以A為原點，分別以直線AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
∵E為PC的中點，∴E（1，1，1）

AE

=(1，1，1)，

AD

=(0，2，0)，

AC

=（2，2，0）；
設平面AED的一個法向量為

n

=（x，y，z）
則

AE • n =0 AD • n =0

，即

x+y+z=0 2y=0

，令x=1，得

n

=（1，0，-1），
設直線AC與平面AED所成的角為θ，則sinθ=|cos＜

n

，

AC

＞|=

1

2

；
∴設直線AC與平面AED所成的角為30°．

點評：本題考查了線線、線面平行和垂直的定理及定義的運用，用向量法求線面角；考查了推理論證能力、轉化能力和運算求解能力．