Question

廣東省汕頭市日前提出，要提升市民素質和城市文明程度，促進經濟發展有大的提速，努力實現“幸福汕頭”的共建共享．現隨機抽取50位市民，對他們的幸福指數進行統計分析，得到如下分布表：

幸福級別	非常幸福	幸福	不知道	不幸福
幸福指數（分）	90	60	30
人數（個）	19	21	7	3

（I）求這50位市民幸福指數的數學期望（即平均值）；
（11）以這50人為樣本的幸福指數來估計全市市民的總體幸福指數，若從全市市民（人數很多）任選3人，記ξ表示抽到幸福級別為“非常幸福或幸福”市民人數．求ξ的分布列；
（III）從這50位市民中，先隨機選一個人．記他的幸福指數為m，然后再隨機選另一個人，記他的幸福指數為n，求n＜m+60的概率P．

Answer 1

【答案】分析：（I）由數學期望（即平均值）的定義，結合圖表可得答案；
（II）可得ξ的可能取值為0、1、2、3，分別求其概率，即可得其分布列；
（III）方法一，求對立事件n≥m+60的概率，進而由P=1-P₁可得答案，方法二，直接列舉出符合n＜m+60的情況，由古典概型的公式可得答案．
解答：解：（Ⅰ）記Ex表示這50位市民幸福指數的數學期望，
∴．…（1分）
（Ⅱ）ξ的可能取值為0、1、2、3    …（2分）
…（3分）
…（4分）
…（5分）
…（6分）
∴ξ分布列為

ξ		1	2	3
P

…（7分）
（Ⅲ）方法一：設所有滿足條件的對立事件n≥m+60的概率為P₁
①滿足m=0且n=60的事件數為：…（8分）
②滿足m=0且n=90的事件數為：…（9分）
③滿足m=30且n=90的事件數為：…（10分）
∴…（11分）
所以滿足條件n＜m+60的事件的概率為．…（12分）
方法二：基本事件的總數為
滿足條件n＜m+60的有如下各種情況：
①滿足m=0時，n=0，30的事件數為：…（8分）
②滿足m=30時，n=0，30，60的事件數為：…（9分）
③滿足m=60時，n=0，30，60，90的事件數為：…（10分）
④滿足m=90時，n=0，30，60，90的事件數為：…（11分）
所以…（12分）
點評：本題考查離散型隨機變量及其分布列，涉及數學期望的求解，屬中檔題．