Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=BB₁=1，AB₁=

3

（1）求證：平面AB₁C⊥平面B₁CB；    
（2）求三棱錐A₁-AB₁C的體積．

Answer 1

分析：（1）要證平面AB₁C⊥平面B₁CB，根據(jù)面面垂直的判定定理，只要在平面平面AB₁C內(nèi)找一直線垂直平面B₁CB，根據(jù)已知條件可證BB₁⊥AC，AC⊥BC，從而可得
（2）由（1）可知B₁C₁⊥平面A₁AC，故考慮利以B₁為頂點求解體積，即利用VA1-AB 1C =VB 1-A 1AC 進行求解

解答：解：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥底面ABC，
則BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，（3分）
又由于AC=BC=BB₁=1，AB₁=

3

，則AB=

2

則由AC²+BC²=AB²可知，AC⊥BC，（6分）
又由上BB₁⊥底面ABC可知BB₁⊥AC，則AC⊥平面B₁CB，
所以有平面AB₁C⊥平面B₁CB；（9分）
（2）三棱錐A₁-AB₁C的體積VA1-AB1C =VB1-A1AC=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

點評：本題主要考查了面面垂直的判定，線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化，利用換頂點求解三棱錐的體積，這是高考在立體幾何（尤其文科）的考查重點．