Question

在一個盒子中，放有標號分別為1，2，3的三張卡片，先從這個盒子中有放回地先后抽取兩張卡片，設這兩張卡片的號碼分別為x，y，O為坐標原點，P（x-2，x-y），記ξ=|OP|²．
（1）求隨機變量ξ的最大值，并求事件“ξ取最大值”的概率；
（2）求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，當（x，y）=（1，3）或（3，1）時，ξ取最大值，由相互獨立事件的概率乘法公式求出其概率的值．
（2）易知ξ的所有可能取值為0，1，2，5，再求出ξ取各個值的概率，寫出ξ的分布列，利用ξ的期望的定義求出Eξ 的值．

解答：解：（1）由題意可得，當（x，y）=（1，3）或（3，1）時，ξ取最大值，且ξ=5．
令“ξ取最大值”為事件A，
則P(A)=

1

3

×

1

3

+

1

3

×

1

3

=

2

9

．----5分
（2）易知ξ的所有可能取值為0，1，2，5，當ξ=0時，（x，y）=（2，2），所以P(ξ=0)=

1

9

．
當ξ=1時，（x，y）=（1，1）或（3，3）或（2，1）或（2，3），所以P(ξ=1)=

4

9

．
當ξ=2時，（x，y）=（1，2）或（3，2），所以P(ξ=2)=

2

9

．
當ξ=5 時，（x，y）=（1，3）或（3，1），P(ξ=5)=

2

9

．
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	5
P	1 9	4 9	2 9	2 9

----10分
所以Eξ=0×

1

9

+1×

4

9

+2×

2

9

+5×

2

9

=2．----12

點評：本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，離散型隨機變量的期望的求法，屬于中檔題．