Question

已知，n∈N＋，An＝2n2，Bn＝3n，試比較An與Bn的大小，

并加以證明．

 

Answer 1

n∈N＋時，An<Bn成立

【解析】當n＝1時：A1＝2，B1＝3，有A1<B1；

當n＝2時：A2＝8，B2＝9，有A2<B2；

當n＝3時：A3＝18，B3＝27，有A3<B3.

由上可歸納出當n∈N＋時，都有An<Bn.

下面用數學歸納法證明(下面只證n≥2時成立)：

(1)當n＝2時，由上可知不等式成立．

(2)假設n＝k(k∈N＋，且k≥1)時不等式成立，即2k2<3k，

則3k＋1＝3×3k＝3k＋3k＋3k>2k2＋2k2＋2k2.

由于2k2≥4k (k≥2)，2k2>2，

所以3k＋1>2k2＋2k2＋2k2>2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，

這表明，當n＝k＋1時，不等式也成立．

綜合(1)、(2)可知，n∈N＋，n≥2時，都有An<Bn成立．

綜上可知n∈N＋時，An<Bn成立．