Question

已知雙曲線的焦點在y軸，實軸長為8，離心率，過雙曲線的弦AB被點P（4，2）平分；
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）求弦AB所在直線方程；
（3）求直線AB與漸近線所圍成三角形的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）雙曲線的焦點在y軸，設雙曲線的標準方程為．實軸長為8，離心率，由此能求出雙曲線的標準方程．
（2）設弦AB所在直線方程為y-2=k（x-4），A，B的坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．，故，，由此能導出弦AB所在直線方程．
（3）等軸雙曲線的漸近線方程為y=±x．直線AB與漸近線所圍成三角形為直角三角形．又漸近線與弦AB所在直線的交點坐標分別為（6，6），（2，-2），由此能求出直線AB與漸近線所圍成三角形的面積．
解答：解：（1）∵雙曲線的焦點在y軸，∴設雙曲線的標準方程為；
∵實軸長為8，離心率，∴，∴b²=c²-a²=16．
或∵實軸長為8，離心率，
∴雙曲線為等軸雙曲線，a=b=4．
∴雙曲線的標準方程為．
（2）設弦AB所在直線方程為y-2=k（x-4），A，B的坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴，；
∴⇒⇒
代入x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，
得，
∴，
∴，
∴k=2；
所以弦AB所在直線方程為y-2=2（x-4），即2x-y-6=0．
（3）等軸雙曲線的漸近線方程為y=±x．
∴直線AB與漸近線所圍成三角形為直角三角形．
又漸近線與弦AB所在直線的交點坐標分別為（6，6），（2，-2），
∴直角三角形兩條直角邊的長度分別為、；
∴直線AB與漸近線所圍成三角形的面積．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．