Question

已知函數f（x）=ln

1

x

-ax²+x（a＞0）．
（1）若f′（1）=f′（2），求f（x）圖象在x=1處的切線的方程；
（2）若f（x）的極大值和極小值分別為m，n，證明：m+n＞3-2ln2．

Answer 1

分析：（1）先求導數，由f′（1）=f′（2），即可得到a的值可求出f′（1），進而得到函數函數f（x）的解析式，得到f（1），則函數在x=1處的切線的方程可求出；
（2）先設x₁，x₂為方程f′（x）=0的兩個實數根，由韋達定理得到x1+x2=

1

2a

，x1x2=

1

2a

，由于f（x）的極大值和極小值分別為m，n，可求出參數a的范圍，將m+n=f（x₁）+f（x₂）整理為lna+

1

4a

+ln2+1，進而求出lna+

1

4a

+ln2+1＞3-2ln2，即得證．

解答：解：（1）f′(x)=-

2ax2-x+1

x

∵f′（1）=f′（2），
∴-2a=

8a-1

2

，即a=

1

4

∴f(x)=-lnx-

1

4

x2+x
∴f(1)=

3

4

，f′(1)=-

1

2

∴f（x）圖象在x=1處的切線的方程為y-

3

4

=-

1

2

(x-1)，即2x+4y-5=0；
（2）設x₁，x₂為方程f′（x）=0的兩個實數根，
則x1+x2=

1

2a

，x1x2=

1

2a

由題意得：

△=1-8a＞0 x1+x2＞0 x1x2＞0

⇒0＜a＜

1

8

則m+n=f(x1)+f(x2)=-lnx1-ax12+x1-lnx2-ax22+x2
=-lnx1x2-a[(x1+x2)2-2x1x2]+x1+x2=lna+

1

4a

+ln2+1
令g(a)=lna+

1

4a

+ln2+1，則g′(a)=

4a-1

4a2

，
故當0＜a＜

1

8

時，g′（a）＜0，g（a）是減函數，
則g(a)＞g(

1

8

)=3-2ln2
即m+n＞3-2ln2

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，同時考查了導數的幾何意義，以及學生靈活轉化題目條件的能力，是個中檔題．