Question

如下圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F、E₁、F₁分別為棱AD、AB、B₁C₁、C₁D₁的中點．

求證：∠EA₁F＝∠E₁CF₁.

Answer 1

[證明]　如下圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，取A₁B₁的中點M，則BF＝A₁M＝AB.

又∵BF∥A₁M，

∴四邊形A₁FBM為平行四邊形．

∴A₁F∥BM.

而F₁、M分別為C₁D₁、A₁B₁的中點，

則F₁M綊C₁B₁，

而C₁B₁綊BC，∴F₁M∥BC，且F₁M＝BC.

∴四邊形F₁MBC為平行四邊形，

∴BM∥F₁C.又BM∥A₁F，∴A₁F∥CF₁.

同理取A₁D₁的中點N，連接DN，E₁N，

則A₁N綊DE，

∴四邊形A₁NDE為平行四邊形．

∴A₁E∥DN.

又E₁N∥CD，且E₁N＝CD，

∴四邊形E₁NDC為平行四邊形．

∴DN∥CE₁.∴A₁E∥CE₁.

∴∠EA₁F與∠E₁CF₁的兩邊分別對應平行，

且方向都相反．

∴∠EA₁F＝∠E₁CF₁.