Question

如圖，三棱柱中，平面，，,為的中點．

（1）求證：∥平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）設的中點為，問:在矩形內是否存在點，使得平面．若存在，求出點的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

(1) 只需證∥；(2) ；(3)

試題分析：（1）連結，設，連結，在中，為中點，
為 中點，∴∥，又∵面，面，
∴∥面．      4分
（2）過作且設，連結，∵面，面，∴．又，∴面，∴，∴為二面角的平面角，設為．      5分
在中，，由可得，
∴，即二面角的余弦值為．     8分
（3）以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系．
依題意，得：、、、，假設存在
，，
由平面，得：
 ∴
同理，由得：
即：在矩形內是存在點，使得平面．此時點到的距離為，到的距離為．      13分 
點評：立體幾何中證明線面平行或面面平行都可轉化為“線線平行”，而證明線線平行一般有以下的一些方法： （1） 通過“平移”。 （2） 利用三角形中位線的性質。 （3） 利用平行四邊形的性質。 （4） 利用對應線段成比例。 （5） 利用面面平行，等等。