Question

（07年北京卷理）已知集合，其中，由中的元素構成兩個相應的集合：

，．

其中是有序數對，集合和中的元素個數分別為和．

若對于任意的，總有，則稱集合具有性質．

（I）檢驗集合與是否具有性質并對其中具有性質的集合，寫出相應的集合和；

（II）對任何具有性質的集合，證明：；

（III）判斷和的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

解析：（I）集合不具有性質．

集合具有性質，其相應的集合和是，

．

（II）證明：首先，由中元素構成的有序數對共有個．

因為，所以；

又因為當時，時，，所以當時，．

從而，集合中元素的個數最多為，

即．

（III）解：，證明如下：

（1）對于，根據定義，，，且，從而．

如果與是的不同元素，那么與中至少有一個不成立，從而與中也至少有一個不成立．

故與也是的不同元素．

可見，中元素的個數不多于中元素的個數，即，

（2）對于，根據定義，，，且，從而．如果與是的不同元素，那么與中至少有一個不成立，從而與中也不至少有一個不成立，

故與也是的不同元素．

可見，中元素的個數不多于中元素的個數，即，

由（1）（2）可知，．