Question

已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+1，g(x)=

x+ 1 4x ，x＞0 -x2-6x-8，x≤0

，關(guān)于方程g[f（x）]-a=0（a為正實(shí)數(shù)）的根的敘述有下列四個(gè)命題
①存在實(shí)數(shù)a，使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根；
②存在實(shí)數(shù)a，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；
③存在實(shí)數(shù)a，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；
④存在實(shí)數(shù)a，使得方程恰有6個(gè)不同的實(shí)根；
其中真命題的個(gè)數(shù)是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：關(guān)于x的方程g[f（x）]-a=0可化為g[f（x）]=a，畫出函數(shù)y=g[f（x）]和y=a的圖象可得解．

解答：解：關(guān)于x的方程g[f（x）]-a=0可化為g[f（x）]=a，
分別畫出函數(shù)y=g[f（x）]和y=a（a＞0）的圖象，如圖．
由圖可知，它們的交點(diǎn)情況是：
可能有4個(gè)、5個(gè)、或6個(gè)不同的交點(diǎn)，故有：
①不存在實(shí)數(shù)a，使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根；
②存在實(shí)數(shù)a，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；
③存在實(shí)數(shù)a，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；
④存在實(shí)數(shù)a，使得方程恰有6個(gè)不同的實(shí)根；
其中真命題的個(gè)數(shù)是3．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷、分段函數(shù)，以及函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想．