Question

已知函數(shù)滿足：對(duì)任意，都有成立，且時(shí)，．

（1）求的值，并證明：當(dāng)時(shí)，；

（2）判斷的單調(diào)性并加以證明；

（3）若在上遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）2；（2）函數(shù)在上是增函數(shù)；（3）

【解析】

試題分析：（1）用賦值法可求得的值。，則，那么.用賦值法令中的，整理出的關(guān)系式，用表示出，因?yàn)橛?/span>的范圍所以可求出的范圍。（2）由（1）知時(shí)，，，時(shí)，，所以在R上。在R上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)并可設(shè)，根據(jù)已知可用配湊法令在代入上式找出的關(guān)系。在比較的大小時(shí)，在本題中采用作商法與1比較大小。（3）由（２）知函數(shù)在上是增函數(shù)。當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上也是增函數(shù)，不合題意故舍。當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，此時(shí)只需的最大值小于等于k即可。

試題解析：（1）令,則,

即,解得或

若，令,則,

與已知條件矛盾.

所以

設(shè)，則，那么.

又

，從而．

（２）函數(shù)在上是增函數(shù)．

設(shè)，由（１）可知對(duì)任意

且

故，即

函數(shù)在上是增函數(shù)。

（３）由（２）知函數(shù)在上是增函數(shù)．

函數(shù)在上也是增函數(shù)，

若函數(shù)在上遞減，

則時(shí)，，

即時(shí)，．

時(shí)，

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性