Question

（B題）設函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，（a，b，c，d∈R）．
（1）若f（x）=（1-2x）³，求3a+2b+c-d的值；
（2）若a=

1

3

，b＜0，y=f（x）在x=0處取得極值-1，且過點（0，0）可作曲線y=f（x）的三條切線，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于函數f（x）=ax³+bx²+cx+d=（1-2x）³，則導函數也相等，令x=1，則可得3a+2b+c的值，再由二項式定理得到d，即可求3a+2b+c-d的值；
（2）由（1）及a=

1

3

，b＜0，y=f（x）在x=0處取得極值-1，可得c，d的值，設切點，求切線方程，得到

2

3

x

3 0

+b

x

2 0

+1=0，
要求過點（0，0）可作曲線y=f（x）的三條切線，即求g(x)=

2

3

x3+bx2+1(b＜0)有三個零點，
即是函數的極大值大于0或極小值小于0，即可求得實數b的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=（1-2x）³=ax³+bx²+cx+d，
對此等式兩邊同時求導數得：3（1-2x）²（-2）=3ax²+2bx+c，
令x=1得：3a+2b+c=-6，又由二項式定理知d=1
故3a+2b+c-d=-6-1=-7…（6分）
（2）∵f′（x）=x²+2bx+c，由題意可得f′（0）=0，f（0）=-1，解得c=0，d=-1
經檢驗，f（x）在x=0處取得極大值．∴f(x)=

1

3

x3+bx-1…（8分）
設切點為（x₀，y₀），則切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0)
即為y=(

x

2 0

+2bx0)x-

2

3

x

3 0

-b

x

2 0

-1…（9分）
因為切線方程為y=(

x

2 0

+2bx0)x-

2

3

x

3 0

-b

x

2 0

-1，
把（0，0）代入可得

2

3

x

3 0

+b

x

2 0

+1=0，
因為有三條切線，故方程

2

3

x

3 0

+b

x

2 0

+1=0有三個不同的實根．…（11分）
設g(x)=

2

3

x3+bx2+1(b＜0)
∵g′（x）=2x²+2bx，令g′（x）=2x²+2bx=0，可得x=0和x=-b

x	（-∞，0）	0	（0，-b）	-b	（-b，+∞）
g′（x）	+	0	一	0	+
g（x）	增	極大值	減	極小值	增

因為方程有三個根，故極小值小于零，

1

3

b3+1＜0，所以b＜-

3	3

…（14分）

點評：此題主要考查多項式函數的導數，利用導數研究曲線上某點的切線方程，及函數極值等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，難度不大．