Question

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)兩點在拋物線y=2x²上,l是AB的垂直平分線.

(1)當且僅當x₁+x₂取何值時,直線l經過拋物線的焦點F?證明你的結論;

(2)當直線l的斜率為2時,求l在y軸上截距的取值范圍.

Answer 1

解:(1)F∈l|FA|=|FB|A、B兩點到拋物線的準線的距離相等.

∵拋物線的準線是x軸的平行線,y₁≥0,y₂≥0,

依題意y₁、y₂不同時為0,

∴上述條件等價于y₁=y₂?x₁²=x₂²?(x₁+x₂)(x₁-x₂)=0.

∵x₁≠x₂,∴上述條件等價于x₁+x₂=0,

即當且僅當x₁+x₂=0時,l經過拋物線的焦點F.

(2)設l在y軸上的截距為b,依題意得l的方程為y=2x+b;過點A、B的直線方程可寫為y=-x+m,

∴x₁、x₂滿足方程2x²+x-m=0,

得x₁+x₂=-.

A、B為拋物線上不同的兩點等價于上述方程的判別式Δ=+8m＞0,即m＞-.

設AB的中點N的坐標為(x₀,y₀),則

x₀=(x₁+x₂)=-,y₀=-x₀+m=+m.

由N∈l,得+m=-+b,

于是b=+m＞

即l在y軸上的截距的取值范圍為(,+∞).