Question

若三角形的三邊長分別為a，b，c，內切圓半徑為r，則此三角形的面積為S=

1

2

(a+b+c)r．若四面體四個面的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄，內切球的半徑為R，則此四面體類似的結論為

此四面體體積為V=

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）R

．

Answer 1

分析：先用面積分割法，證明平面內的結論正確．然后將該命題推廣到空間：若四面體四個面的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄，內切球的半徑為R，則此四面體的體積為：V=

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）R．接下來可以用體積分割的方法，類似地證明推廣到空間的結論也是正確的．

解答：解：先證明平面內的結論正確
設△ABC的內切圓圓心為I，圓I與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，
連接ID、IE、IF，則有
∵ID與圓I相切于點D，
∴ID⊥BC，可得三角形IBC的面積為S_△IBC=

1

2

BC•ID=

1

2

ar，
（其中r是△ABC的內切圓半徑）
同理可得：S_△IAC=

1

2

AC•IE=

1

2

br，S_△IAB=

1

2

AB•IF=

1

2

cr，
∴三角形ABC的面積為S=S_△IBC+S_△IAC+S_△IAB=

1

2

ar+

1

2

br+

1

2

cr=

1

2

(a+b+c)r
根據此結論，將其類比到空間可得：
若四面體四個面的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄，內切球的半徑為R，則此四面體的體積為V=

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）R．
證明如下：
設四面體ABCD的內切球為球O，球O分別切面BCD、面ACD、面ABD、面ABC于E、F、G、H，
分別設S_△BCD、S_△ACD、S_△ABD、S_△ABC為S₁、S₂、S₃、S₄
∵球O切平面BCD于點E，
∴OE⊥平面BCD，三棱錐O-BCD的體積為V₁=

1

3

S_△BCD•OE=

1

3

S₁R，
同理可得：三棱錐O-BCD的體積為V₂=

1

3

S_△ACD•OF=

1

3

S₂R，三棱錐O-ABD的體積為V₃=

1

3

S_△ABD•OG=

1

3

S₃R，
三棱錐O-ABC的體積為V₄=

1

3

S_△ABC•OH=

1

3

S₄R
∴四面體ABCD的體積等于V=V₁+V₂+V₃+V₄=

1

3

S₁R+

1

3

S₂R+

1

3

S₃R+

1

3

S₄R=

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）R．
故答案為：四面體體積為V=

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）R

點評：本題借助于一個平面內關于內切圓半徑的正確命題，通過將其推廣到空間的一個結論，考查了三角形面積公式和錐體體積公式等知識點，以及用割補的方法求幾何體體積的思想，屬于中檔題．