Question

已知f（x）=ae^-x+cosx-x（0＜x＜1）
（1）若對任意的x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）求證：e-x+sinx＜1+

x2

2

(0＜x＜1)．

Answer 1

分析：（1）由f（x）＜0，得a＜（x-cosx）•e^x，記g（x）=（x-cosx）•e^x，求出g（x）的導數，利用導數判斷g（x）在（0，1）的單調性，再由函數的單調性進行求解．
（2）構造函數h（x）=e-x+sinx-1-

x2

2

（0＜x＜1），且h（0）=0，求出h（x）的導數，再由導數判斷h（x）在（0，1）上的單調性，再借助函數的單調性進行求解．

解答：解：（1）由f（x）＜0，得a＜（x-cosx）•e^x，
記g（x）=（x-cosx）•e^x，
則g′（x）=（1+sinx）•e^x+（x-cosx）•e^x
=（1+sinx-cosx+x）•e^x，
∵0＜x＜1，
∴sinx＞0，1-cosx＞0，e^x＞0，∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，1）上為增函數．
∴-1＜g（x）＜（1-cos1）•e，故a≤-1．

（2）構造函數h（x）=e-x+sinx-1-

x2

2

（0＜x＜1），且h（0）=0，
則h′（x）=-e^-x+cosx-x，
由（1）知：當a=-1時，f（x）=-e^-x+cosx-x＜0（0＜x＜1），
∴h（x）在（0，1）單調遞減，∴h（x）＜h（0）=0，
即e-x+sinx＜1+

x2

2

(0＜x＜1)．

點評：本題考查對數函數的性質和應用，解題時要注意導數的應用，掌握構造法在解題中的合理運用．