Question

觀察下列等式：

3

1×2

×

1

2

=1-

1

22

，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

=1-

1

3×22

，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+

5

3×4

×

1

23

=1-

1

4×23

，
…
由以上等式推測到一個一般的結論：對于n∈N^*，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+…+

n+2

n(n+1)

×

1

2n

=

 

．

Answer 1

分析：由已知中的三個式子，我們分析等式左邊每一個累加項的變化趨勢，可以歸納出其通項為

n+2

n(n+1)

×

1

2n

，分析等式右邊的式子，發現每一個式了均為兩項差的形式，且被減數均為1，減數為

1

(n+1)-2n

，由此即可得到結論．

解答：解：由已知中的等式，

3

1×2

×

1

2

=1-

1

22

，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

=1-

1

3×22

，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+

5

3×4

×

1

23

=1-

1

4×23

，
…
我們可以推斷：
對于n∈N^*，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+…+

n+2

n(n+1)

×

1

2n

=1-

1

(n+1)-2n

故答案為：1-

1

(n+1)-2n

點評：本題考查的知識點是歸納推理，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．