Question

如圖，已知圓C:(x+1)²+y²=r²(r為常數，且r＞2)，定點B(1，0)，A是圓C上的動點，直線AC與線段AB的垂直平分線l相交于點M．當點A在圓C上移動一周時，點M的軌跡記為曲線F．

(1)求曲線F的方程；

(2)求證：直線l與曲線F只有一個公共點M；

(3)若r=4，點M在第一象限，且，記直線l與直線CM的夾角為，

求tan．

Answer 1

解：(1)連接MB，由題意有

|MC|+|MB|=|MC|+|MA|=|AC|=r 

又r＞|BC|=2

∴點M的軌跡是以C(-1,0),B(1,0)為焦點的橢圓

∴a=   c=1

∴曲線F的方程為： 

(2)反證法：假設直線l與橢圓F還有另一個交點,連接C、B、A

∵點在l上，有|C|+|B|=|C|+|A|＞|AC|=r 

又點在F上,有  |C|+|B|=r,兩者矛盾

故假設不成立，原命題成立. 

(3)∵r=4,故橢圓F方程為

設點M（2cosθ,sinθ）

則=(2cosθ+1,sinθ),=(2cosθ-1,sinθ),

∴·=4cos²θ-1+3sin²θ=

∴cos²θ=  ∴M(1,) 

由（2）知l為橢圓F的切線，由

,當y＞0時，有y=

∴  ∴k_l= 

[由公式求k_l不扣分（其中x₁=1,y₁=）]

又k_MC=故tanα=.