Question

（本小題滿分14分）已知函數

（I）求函數在上的最小值；

（II）對一切恒成立，求實數的取值范圍；

（III）求證：對一切，都有

 

 

Answer 1

【答案】

（I）f ′（x）＝lnx＋1，當x∈（0，），f ′（x）＜0，f （x）單調遞減，

當x∈（，＋∞），f ′（x）＞0，f （x）單調遞增．                                  ……2分

①0＜t＜t＋2＜，t無解；

②0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜時，f （x）_min＝f （）＝－；

③≤t＜t＋2，即t≥時，f （x）在［t，t＋2］上單調遞增，f （x）_min＝f （t）＝tlnt；

所以f （x）_min＝．                                                                     ……5分

（II）2xlnx≥－x²＋ax－3，則a≤2lnx＋x＋，   ……6分

設h （x）＝2lnx＋x＋（x＞0），則h′ （x）＝，x∈（0，1），h′ （x）＜0，h （x）單調遞減，

x∈（1，＋∞），h′ （x）＞0，h （x）單調遞增，所以h （x）_min＝h （1）＝4，

因為對一切x∈（0，＋∞），2f （x）≥g （x）恒成立，

所以a≤h （x）_min＝4．       ……10分

（III）問題等價于證明xlnx＞－（x∈（0，＋∞）），

由（I）可知f （x）＝xlnx（x∈（0，＋∞））的最小值是－，當且僅當x＝時取到．       

設m （x）＝－（x∈（0，＋∞）），則m ′（x）＝，

易得m （x）_max＝m （1）＝－，當且僅當x＝1時取到，

從而對一切x∈（0，＋∞），都有lnx＞－．                                        ……14分

 

【解析】略