Question

已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.

(1)求動圓圓心的軌跡C的方程.

(2)已知點B(-1,0),設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,證明直線l過定點.

Answer 1

【解題提示】(1)由弦長的一半、半徑和弦心距構成直角三角形列出方程,化簡后得出軌跡C的方程.

(2)直線過定點可抓住該題的關鍵:x軸是∠PBQ的角平分線,即k_QB+k_PB=0解之.

【解析】(1)A(4,0),設圓心C(x,y),線段MN的中點為E,由幾何圖象知ME=,CA²=CM²=ME²+EC²⇒(x-4)²+y²=4²+x²⇒y²=8x.

(2)設直線l的方程為y=kx+b,聯立

得k²x²+2kbx+b²=8x,

k²x²-(8-2kb)x+b²=0(其中Δ>0),

設P(x₁,kx₁+b),Q(x₂,kx₂+b),

則x₁+x₂=,

x₁x₂=,

若x軸是∠PBQ的角平分線,則

k_PB+k_QB=+

=

===0即k=-b,

故直線l的方程為y=k(x-1),直線l過定點(1,0).