Question

甲、乙兩個射手進行射擊訓練，甲擊中目標的概率為

2

3

，乙擊中目標的概率為

3

4

，每人各射擊兩發子彈為一個“單位射擊組”，若甲擊中目標的次數比乙擊中目標的次數多，則稱此組為“單位進步組”．
（1）求一個“單位射擊組”為“單位進步組”的概率；
（2）記完成三個“單位射擊組”后出現“單位進步組”的次數ξ，求ξ的分布列與數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知每人各射擊兩發子彈，甲擊中目標的次數比乙擊中目標的次數多，甲擊中目標一次和兩次都有對應乙不如甲，而甲是單位進步組”，而這兩種情況是互斥的，由互斥事件和獨立重復試驗公式得到結果．
（2）由上一問得到成為“單位進步組”的概率，看出變量的可能情況，根據獨立重復試驗得到變量對應的事件的概率，寫出分布列，算出期望．

解答：解：（1）由題意知每人各射擊兩發子彈，若甲擊中目標的次數比乙擊中目標的次數多，
則稱此組為“單位進步組”．甲擊中目標一次和兩次都有對應乙不如甲，而甲是單位進步組”，
設甲擊中目標2次時為“單位進步組”的概率為P₁，
則P₁=(

2

3

)2×[

C

1 2

×

3

4

×

1

4

+(

1

4

)2]=

7

36

設甲擊中目標1次時為“單位進步組”的概率為P₂，
則P2=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×(

1

4

)2=

1

36

．
故一個“單位射擊組”成為“單位進步組”的概率為P=P₁+P₂=

2

9

．
（2）由（1）知，一個“單位射擊組”成為“單位進步組”的概率P（A）=

2

9

不能成為“單位進步組”的概率P（

.

A

）=

7

9

．
ξ可能取值為0，1，2，3．
根據獨立重復試驗公式得到結果，
P（ξ=0）=(

7

9

)3=

343

729

，
P（ξ=1）=

C

1 3

×

2

9

×(

7

9

)2=

294

729

P（ξ=2）=

C

2 3

×(

2

9

)2×

7

9

=

84

729

P（ξ=3）=(

2

9

)3=

8

729

∴ξ的分布列為

∴ξ的數學期望Eξ=0×

323

749

+1×

294

729

+2×

84

729

+3×

8

729

=

2

3

．

點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，注意滿足獨立重復試驗的條件，解題過程中判斷概率的類型是難點也是重點，這種題目高考必考，應注意解題的格式．