Question

設集合W由滿足下列兩個條件的數列構成：

①

②存在實數M，使（n為正整數）

   （I）在只有5項的有限數列

        ；試判斷數列是否為集合W的元素；

   （II）設是各項為正的等比數列，是其前n項和，證明數列；并寫出M的取值范圍；

  （III）設數列且對滿足條件的M的最小值M₀，都有.

        求證：數列單調遞增.

Answer 1

（I）不是集合W中的元素，是集合W中的元素.（II），且（III）見解析

解析:

（I）對于數列，

取顯然不滿足集合W的條件，①

故不是集合W中的元素，           …………2分

對于數列，當時，

不僅有

而且有，

顯然滿足集合W的條件①②，

故是集合W中的元素.           …………4分

   （II）是各項為正數的等比數列，是其前n項和，

設其公比為q>0，

整理得

                          …………7分

對于

且

故，且             …………9分

   （III）證明：（反證）若數列非單調遞增，則一定存在正整數k，

使，易證于任意的，都有，證明如下：

假設

當n=m+1時，由

而

所以

所以，對于任意的

顯然這k項中有一定存在一個最大值，不妨記為；

所以與這題矛盾.

所以假設不成立， 故命題得證.          …………14分