Question

設函數f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定義域為R的奇函數．
（Ⅰ）求k的值，判斷并證明當a＞1時，函數f（x）在R上的單調性；
（Ⅱ）已知f（1）=

3

2

，函數g（x）=a^2x+a^-2x-2f（x），x∈[-1，1]，求g（x）的值域；
（Ⅲ）已知a=3，若f（3x）≥λ•f（x）對于x∈[1，2]時恒成立．請求出最大的整數λ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據函數f（x）為R上的奇函數，可求得k的值，即可得函數f（x）的解析式，根據函數單調性的定義，利用作差法，即可證得函數的單調性；
（Ⅱ）根據f（1）的值，可以求得a，即可得g（x）的解析式，利用換元法，將函數g（x）轉化為二次函數，利用二次函數的性質，即可求得值域；
（Ⅲ）根據a=3，將f（3x）≥λ•f（x）表示出來，利用換元法和參變量分離法，將不等式轉化為λ≤t²+3對t∈[

8

3

，

80

9

]恒成立，利用二次函數的性質，求得t²+3的最小值，即可求得λ的取值范圍，從而得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ka^x-a^-x是定義域為R上的奇函數，
∴f（0）=0，得k=1，
∴f（x）=a^x-a^-x，
∵f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函數，
設x₂＞x₁，則f（x₂）-f（x₁）=a^x₂-a^-x₂）-（a^x₁-a^-x₁）=（a^x₂-a^x₁）（1+

1

ax2ax1

），
∵a＞1，∴a^x₂＞a^x₁，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x）在R上為增函數；
（Ⅱ）∵f（1）=

3

2

，
∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=-

1

2

（舍去），
則y=g（x）=2^2x+2^-2x-2（2^x-2^-x），x∈[-1，1]，令t=2^x-2^-x，x∈[-1，1]，
由（1）可知該函數在區間[-1，1]上為增函數，則t∈[-

3

2

，

3

2

]，
則y=h（t）=t²-2t+2，t∈[-

3

2

，

3

2

]，
當t=-

3

2

時，y_max=

29

4

；當t=1時，y_min=1，
∴g（x）的值域為[1，

29

4

]，
（Ⅲ）由題意，即3^3x+3^-3x≥λ（3^x-3^-x），在x∈[1，2]時恒成立
令t=3^x-3^-x，x∈[1，2]，則t∈[

8

3

，

80

9

]，
則（3^x-3^-x）（3^2x+3^-2x+1）≥λ（3^x-3^-x），x∈[1，2]恒成立，
即為t（t²+3）≥λ•t，t∈[

8

3

，

80

9

]恒成立，
λ≤t²+3，t∈[

8

3

，

80

9

]恒成立，當t=

8

3

時，（t²+3）_min=

91

9

，
∴λ≤

91

9

，則λ的最大整數為10．

點評：本題考查了函數單調性的判斷與證明，注意一般單調性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設值，作差，化簡，定號，下結論．同時考查了函數的恒成立問題，對于函數的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法進行求解．本題選用了參變量分離的方法轉化成二次函數求最值問題．屬于中檔題．