Question

已知復數w滿足w-4=（3-2w）i（i為虛數單位），z=

5

w

+|w-2|，求一個以z為根的實系數一元二次方程．

Answer 1

[解法一]∵復數w滿足w-4=（3-2w）i，∴w（1+2i）=4+3i，
∴w（1+2i）（1-2i）=（4+3i）（1-2i），
∴5w=10-5i，∴w=2-i．
∴z=

5

2-i

+|2-i-2|=

5(2+i)

(2-i)(2+i)

+1=2+i+1=3+i．
若實系數一元二次方程有虛根z=3+i，則必有共軛虛根

.

z

=3-i．
∵z+

.

z

=6，z•

.

z

=10，
∴所求的一個一元二次方程可以是x²-6x+10=0．
[解法二]設w=a+b，（a，b∈Z），∴a+bi-4=3i-2ai+2b，
得

a-4=2b b=3-2a

解得

a=2 b=-1

，∴w=2-i，
以下解法同[解法一]．