Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=a，E是A₁C₁的中點，F是AB中點．
（1）求證：EF∥面BB₁C₁C；
（2）求直線EF與直線CC₁所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的判定定理，證明平面EFG∥平面BB₁C₁C，即可．
（2）根據直線所成角的定義，進行求解．

解答：解：（1）取AC的中點G，連結EG，FG，
∵EG∥C₁C，C₁C?平面EFG，
∴C₁C∥平面EFG，
同理可證BC∥平面EFG，
又∵BC，C₁C?面BB₁C₁C，
∴平面EFG∥平面BB₁C₁C，
∴EF∥面BB₁C₁C．
（2）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴EG⊥面BB₁C₁C，
∵EG∥C₁C，
∴∠FEG為直線EF與C₁C所成的角，
∵△EFG為直角三角形，
∴tan∠EFG=

FG

EG

=

1 2 a

a

=

1

2

．

點評：本題主要考查線面平行的判定以及直線所成角的定義及求法，要求熟練掌握相應的判定定理和性質定理．