Question

（2011•花都區(qū)模擬）已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，

AF2

•

F1F2

=0，若橢圓的離心率等于

2

2

．
（1）求直線AO的方程（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（2）直線AO交橢圓于點(diǎn)B，若三角形ABF₂的面積等于4

2

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率e=

2

2

，即c=

2

2

a，可得b2=

1

2

a2，因此設(shè)橢圓方程為x²+2y²=a²．再設(shè)點(diǎn)A（x₀，y₀），因?yàn)橄蛄?span id="o0ecwu0" class="MathJye">

AF2

、

F1F2

的數(shù)量積為0，得到AF₂、F₁F₂互相垂直，所以x₀=c，將A（c，y₀），代入橢圓方程，化簡(jiǎn)可得y0=

1

2

a，得到A的坐標(biāo)，從而得到直線AO的斜率為

2

2

，最后根據(jù)直線AO過(guò)原點(diǎn)，得直線AO的方程為y=

2

2

x；
（2）連接AF₁，BF₁，AF₂，BF₂，由橢圓的對(duì)稱性可知：S_△ABF1=S_△ABF2=S_△AF1F2，可用△AF₁F₂的面積列式，解之得a²=16，c²=

1

2

a²=8，所以b²=a²-c²=8，最終得到橢圓方程為

x2

16

+

y2

8

=1．

解答：解：（1）∵

AF2

•

F1F2

=0，∴AF₂⊥F₁F₂，
又∵橢圓的離心率e=

c

a

=

2

2

，
∴c=

2

2

a，可得b2=

1

2

a2，--------（3分）
設(shè)橢圓方程為x²+2y²=a²，設(shè)A（x₀，y₀），由AF₂⊥F₁F₂，得x₀=c
∴A（c，y₀），代入橢圓方程，化簡(jiǎn)可得y0=

1

2

a（舍負(fù)）--------（5分）
∴A（

2 a

2

，

a

2

），可得直線AO的斜率KOA=

2

2

--------（6分）
因?yàn)橹本�AO過(guò)原點(diǎn)，故直線AO的方程為y=

2

2

x--------（7分）
（2）連接AF₁，BF₁，AF₂，BF₂，
由橢圓的對(duì)稱性可知：S_△ABF1=S_△ABF2=S_△AF1F2，--------（9分）
∴S_△AF1F2=

1

2

×2c×y_A=4

2

，即

1

2

ac=4

2

--------（10分）
又∵c=

2

2

a
∴

2

4

a²=4

2

，解之得a²=16，c²=

1

2

a²=8，
∴b²=a²-c²=8，故橢圓方程為

x2

16

+

y2

8

=1--------（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)特殊的橢圓，在已知其離心率的情況下求直線的方程和三角形的面積，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．