Question

(本小題滿分16分)已知函數的圖象在上連續不斷，定義：

，

其中，表示函數在區間上的最小值，表示函數在區間上的最大值.若存在最小正整數，使得對任意的成立，則稱函數為區間上的“階收縮函數”.

(1)若，試寫出的表達式；

(2)已知函數試判斷是否為上的“階收縮函數”，如果是，求出相應的；如果不是，請說明理由；

(3)已知函數是上的2階收縮函數，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1），

（2）∵，，

∴，

當時，∴

當時，∴∴

當時，∴∴

綜上，存在使得是上的4階收縮函數.

(3)∵,

∴遞增，遞減.

①  當時，在上遞增，

∴

∵是上的2階收縮函數，

∴對恒成立，即對恒成立，即或.∴

存在，使得成立.存在，使得

成立.即或，∴只需

∴綜上：

②當時，在上遞增，在上遞減，

∴

∴當時，不成立.

③當時, 在上遞增，在上遞減,

∴

∴當時，也不成立.

綜上：

【解析】略