Question

【題目】已知函數f（x）＝x2lnx．

（1）求f（x）的單調區間；

（2）證明：．

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增； （2）見解析.

【解析】

（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）設h（x）＝（x＞0），根據函數的單調性求出f（x）min＞h（x）max，從而證明結論．

（1）f′（x）＝x（2lnx+1），

令f′（x）＝0，解得：x＝，

令f′（x）＞0，解得：x＞，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，

故f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增；

（2）證明：由（1）知當x＝時，f（x）的最小值是﹣，

設h（x）＝﹣（x＞0），則h′（x）＝﹣，

h（x）在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減，

故h（x）max＝h（2）＝﹣，

∵﹣﹣（﹣）＝＞0，

∴f（x）min＞h（x）max，

故lnx＞﹣．